Question

Determina $3x_4+2x_5$ si $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ y $x_5$ satisfacen el sistema $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

Determine $3x_4+2x_5$ if $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ and $x_5$ satisfy the system $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 181

Conceptos:manipulación algebraica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Sea $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Let $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Pista grande:

Cada ecuación tiene la forma $S+x_i=$ una constante

Each equation has the form $S+x_i=$ a constant

Solución:

Sea $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ Las cinco ecuaciones dicen que $S+x_i$ es igual a $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ y $96,$ respectivamente. Al sumarlas se obtiene $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ así que $S=31.$ Por tanto, $x_4=48-31=17$ y $x_5=96-31=65.$ El valor pedido es $3(17)+2(65)=181.$

Put $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ The five equations say that $S+x_i$ equals $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ $96,$ respectively. Adding them gives $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ so $S=31.$ Hence $x_4=48-31=17$ and $x_5=96-31=65.$ The requested value is $3(17)+2(65)=181.$

1986 AIME Problema 4

Respuesta: 181

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años