Question

求 $3x_4+2x_5$ ，其中 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 、 $x_4$ 和 $x_5$ 满足方程组 $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96 \end{aligned}$

Determine $3x_4+2x_5$ if $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ and $x_5$ satisfy the system $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

答案

答案：181

知识点：代数变形方程组

难度评级：1760

小提示：

令 $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Let $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

大提示：

每个方程都形如 $S+x_i=$ 一个常数

Each equation has the form $S+x_i=$ a constant

解答：

令 $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$ 。五个方程表明， $S+x_i$ 依次等于 $6$ 、 $12$ 、 $24$ 、 $48$ 、 $96$ 。将五式相加，得 $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $S=31$ 。因而 $x_4=48-31=17$ ，且 $x_5=96-31=65$ 。所求值为 $3(17)+2(65)=181$ 。

Put $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ The five equations say that $S+x_i$ equals $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ $96,$ respectively. Adding them gives $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ so $S=31.$ Hence $x_4=48-31=17$ and $x_5=96-31=65.$ The requested value is $3(17)+2(65)=181.$

1986 AIME 第 4 题

答案：181

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

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