Question

若 $a<b<c<d<e$ 是连续正整数，且 $b+c+d$ 是完全平方数， $a+b+c+d+e$ 是完全立方数，那么 $c$ 的最小可能值是多少？

If $a<b<c<d<e$ are consecutive positive integers such that $b+c+d$ is a perfect square and $a+b+c+d+e$ is a perfect cube, what is the smallest possible value of $c?$

答案

答案：675

知识点：完全幂完全平方数质因数分解

难度评级：2190

小提示：

用中间的整数 $c$ 表示这两个和

Express both sums in terms of the middle integer $c$

大提示：

分别模 $2$ 和模 $3$ 比较 $3c$ 与 $5c$ 中各质因数的指数

Compare the prime exponents in $3c$ and $5c$ modulo $2$ and modulo $3$

解答：

这两个和分别是 $3c$ 和 $5c$ 。若 $c=\prod p^{v_p}$ ，则 $3c$ 为完全平方数以及 $5c$ 为完全立方数会对每个指数施加条件。对于 $p=3$ ， $c$ 中既为奇数又能被 $3$ 整除的最小指数是 $3$ 。对于 $p=5$ ，既为偶数又与 $2\pmod3$ 同余的最小指数是 $2$ 。其他质因数的指数均可取 $0$ 。因此最小可能值为 $c=3^3\cdot5^2=675$ 。

The two sums are $3c$ and $5c.$ If $c=\prod p^{v_p},$ then $3c$ being a square and $5c$ being a cube impose conditions on every exponent. For $p=3,$ the smallest exponent in $c$ that is odd and divisible by $3$ is $3.$ For $p=5,$ the smallest exponent that is even and congruent to $2\pmod3$ is $2.$ Every other prime exponent can be $0.$ Thus the least possible value is $c=3^3\cdot5^2=675.$

1989 AIME 第 4 题

答案：675

难度评级：2190

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解答：

其他年份的第 4 题