Question

设 $S$ 是一个正整数数列，其中的数不必互不相同，并且包含 $68$ 。 $S$ 中各数的平均数（算术平均数）为 $56$ 。但删去 $68$ 后，其余各数的平均数降为 $55$ 。 $S$ 中可能出现的最大数是多少？

Let $S$ be a list of positive integers—not necessarily distinct—in which the number $68$ appears. The average (arithmetic mean) of the numbers in $S$ is $56.$ However, if $68$ is removed, the average of the remaining numbers drops to $55.$ What is the largest number that can appear in $S?$

答案

答案：649

知识点：平均数最优化

难度评级：1670

小提示：

设原数列共有 $N$ 项

Let $N$ be the number of entries in the original list

大提示：

要使某一项最大，应让所有不受限制的正整数项尽可能小

To maximize one entry, make every unrestricted positive integer as small as possible

解答：

若原数列有 $N$ 项，则 $56N-68=55(N-1)\text{，}$ 因此 $N=13$ ，各项总和为 $56\cdot13=728$ 。除 $68$ 这一项外，令十一项都等于最小正整数 $1$ 。余下的一项便是 $728-68-11=649\text{。}$ 这一构造符合条件，并且不可能有更大的项。

If the original list has $N$ entries, then $56N-68=55(N-1),$ so $N=13$ and the total of the entries is $56\cdot13=728.$ Besides the entry $68,$ make eleven entries equal to the least positive integer, $1.$ The remaining entry is then $728-68-11=649.$ This construction is valid, and no larger entry is possible.

1984 AIME 第 4 题

答案：649

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题