Question

图中两个正方形有同一个中心 $O$ ，且边长都是 $1$ 。 $\overline{AB}$ 的长度为 $\frac{43}{99}$ ，八边形 $ABCDEFGH$ 的面积为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

The two squares shown share the same center $O$ and have sides of length $1.$ The length of $\overline{AB}$ is $\frac{43}{99}$ and the area of octagon $ABCDEFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：185

知识点：正方形（几何）面积分割对称性

难度评级：2350

小提示：

由交换两个正方形的对称性以及 $90^\circ$ 旋转对称性可知，八边形的八条边全都相等

By the symmetries swapping the two squares and rotating by $90^\circ,$ all eight sides of the octagon are congruent

大提示：

把八边形切成 $8$ 个以 $O$ 为顶点的三角形；八边形的每条边都在某个正方形的一条边上，且与 $O$ 的距离为 $\frac{1}{2}$

Cut the octagon into $8$ triangles with apex $O;$ each side of the octagon lies on a side of a square, at distance $\frac{1}{2}$ from $O$

解答：

整个图形绕 $O$ 旋转 $90^\circ$ 后保持不变，这会把八边形边 $AB$ 依次对应到 $CD$ 、 $EF$ 、 $GH$ ；同时图形还具有交换两个正方形的反射对称性，这会把这些边对应到 $BC$ 、 $DE$ 、 $FG$ 、 $HA$ 。因此八边形的八条边长度都相同，均为 $\frac{43}{99}$ 。

从 $O$ 连到八个顶点，把八边形分成 $8$ 个三角形。每个三角形的底为 $\frac{43}{99}$ ，位于某个单位正方形的一条边上，所以从 $O$ 到这条底边的高就是中心到该边的距离，即 $\frac{1}{2}$ 。面积为 $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}\text{。}$

因为 $\gcd(86, 99) = 1$ ，答案是 $86 + 99 = 185$ 。

The whole configuration is unchanged by rotating $90^\circ$ about $O,$ which cycles the octagon side $AB$ to $CD,$ $EF,$ $GH,$ and it is also unchanged by the reflection that swaps the two squares, which carries those sides to $BC,$ $DE,$ $FG,$ $HA.$ So all eight sides of the octagon have the same length, $\frac{43}{99}.$

Segments from $O$ to the eight vertices cut the octagon into $8$ triangles. Each has base $\frac{43}{99}$ lying on a side of one of the unit squares, so its height from $O$ is the distance from the center to that side, namely $\frac{1}{2}.$ The area is $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{43}{99} \cdot \frac{1}{2} = \frac{86}{99}.$

Since $\gcd(86, 99) = 1,$ the answer is $86 + 99 = 185.$

1999 AIME 第 4 题

答案：185

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题