Question

三颗行星绕一颗恒星在同一平面内做圆周运动，恒星位于圆心。所有行星沿同一方向、以各自恒定速度运行，它们的公转周期分别为 $60$ ， $84$ ，和 $140$ 年。现在恒星和三颗行星的位置共线。它们下一次共线将在 $n$ 年后。求 $n$ 。

Three planets revolve about a star in coplanar circular orbits with the star at the center. All planets revolve in the same direction, each at a constant speed, and the periods of their orbits are $60,$ $84,$ and $140$ years. The positions of the star and all three planets are currently collinear. They will next be collinear after $n$ years. Find $n.$

答案

答案：105

知识点：最小公倍数相对速度

难度评级：2230

小提示：

四个天体共线当且仅当每一对行星的公转圈数之差都是 $\frac{1}{2}$ 的倍数

All four bodies are collinear exactly when each pair of planets has revolution counts differing by a multiple of $\frac{1}{2}$

大提示：

两个两两间隔以每年 $\frac{1}{210}$ 圈增长，第三个间隔增长速度是它的两倍；让每个间隔都是 $\frac{1}{2}$ 的倍数

Two of the pairwise gaps grow at $\frac{1}{210}$ revolution per year and the third twice as fast; make every gap a multiple of $\frac{1}{2}$

解答：

四个天体在同一直线上，当且仅当每一对行星都与恒星共线，也就是说每一对行星的角位置相差 $180^\circ$ 的倍数，即半圈的倍数。在 $n$ 年内，三颗行星分别转过 $\frac{n}{60}$ ， $\frac{n}{84}$ ，和 $\frac{n}{140}$ 圈，所以两两差为 $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105} \end{aligned}\text{。}$

我们需要 $\frac{n}{210}$ 和 $\frac{n}{105}$ 都是 $\frac{1}{2}$ 的倍数。第一个条件要求 $n$ 是 $105$ 的倍数，而任何这样的 $n$ 都会使 $\frac{n}{105}$ 为整数。最小的正数选择为 $n = 105$ 。

All four bodies lie on one line exactly when every pair of planets is collinear with the star, i.e. when each pair’s angular positions differ by a multiple of $180^\circ$ — half a revolution. In $n$ years the planets complete $\frac{n}{60},$ $\frac{n}{84},$ and $\frac{n}{140}$ revolutions, so the pairwise differences are $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105}. \end{aligned}$

We need $\frac{n}{210}$ and $\frac{n}{105}$ to be multiples of $\frac{1}{2}.$ The first requires $n$ to be a multiple of $105,$ and any such $n$ makes $\frac{n}{105}$ an integer. The smallest positive choice is $n = 105.$

2007 AIME I 第 4 题

答案：105

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题