Question

半径分别为 $3$ 和 $6$ 的两个圆彼此外切，并且都与一个半径为 $9$ 的圆内切。半径为 $9$ 的圆有一条弦，它同时是另外两个圆的公外切线。求这条弦长的平方。

Circles of radius $3$ and $6$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $9.$ The circle of radius $9$ has a chord that is a common external tangent of the other two circles. Find the square of the length of this chord.

答案

答案：224

知识点：相切圆弦坐标几何

难度评级：1940

小提示：

三个圆心共线，因为它们两两之间的距离为 $6$ 、 $3$ 和 $9$

The three circle centers are collinear because their pairwise distances are $6,$ $3,$ and $9$

大提示：

利用两个小圆圆心到公切线的有向距离，求出大圆圆心到该切线的距离

Use signed distances from the two smaller centers to the common tangent to find its distance from the large center

解答：

将半径为 $9$ 的圆的圆心置于原点，并将两个小圆的圆心分别置于 $(-6,0)$ 和 $(3,0)$ 。将公外切线写成 $\mathbf n\cdot(x,y)=c$ ，其中 $\mathbf n$ 是单位法向量。两个圆心到直线的有向距离之差为 $6-3=3$ ，所以 $9n_x=3$ ，且 $n_x=\frac{1}{3}$ 。再利用距离 $3$ （从 $(-6,0)$ 量起），得到 $|c|=5$ 。因此这条弦到大圆圆心的距离为 $5$ ，弦长的平方为 $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224\text{。}$

Put the radius- $9$ circle at the origin and the smaller centers at $(-6,0)$ and $(3,0).$ Write the common external tangent as $\mathbf n\cdot(x,y)=c,$ where $\mathbf n$ is a unit normal. Its signed distances from the two centers differ by $6-3=3,$ so $9n_x=3$ and $n_x=\frac{1}{3}.$ Using the distance $3$ from $(-6,0)$ gives $|c|=5.$ Thus the chord lies $5$ units from the large center, and its squared length is $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.$

1995 AIME 第 4 题

答案：224

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

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