Question

一个物体从 $(0,0)$ 出发，在坐标平面内连续移动，每一步的长度都是一。每一步都等概率地向左、向右、向上或向下。设 $p$ 为该物体在六步以内到达 $(2,2)$ 的概率。已知 $p$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$ 。

Starting at $(0,0),$ an object moves in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Each step is left, right, up, or down, all four equally likely. Let $p$ be the probability that the object reaches $(2,2)$ in six or fewer steps. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

答案

答案：67

知识点：随机游走基本计数对立事件概率

难度评级：1850

小提示：

目标点最早只能在第 $4$ 步或第 $6$ 步到达

The target can first be reached only after $4$ or $6$ steps

大提示：

从六步后终止于目标点的路径中，减去已经在第 $4$ 步到达目标点的路径

From the six-step paths ending at the target, subtract those that already arrived at step $4$

解答：

到达 $(2,2)$ 的四步路径有 $\binom42=6$ 条。六步后终止于该点的路径共有 $60+60=120$ 条：额外的一对相反方向步要么是向左、向右各一步，要么是向下、向上各一步。其中有 $6\cdot4=24$ 条路径先在第 $4$ 步到达目标点，再用两步返回。因此 $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}\text{。}$ 所以 $m+n=3+64=67$ 。

There are $\binom42=6$ four-step paths to $(2,2).$ There are $60+60=120$ six-step paths ending there: the extra opposite pair is either left-right or down-up. Of these, $6\cdot4=24$ first reach the target at step $4$ and then make a two-step return. Therefore $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.$ Thus $m+n=3+64=67.$

1995 AIME 第 3 题

答案：67

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题