Question

令 $P$ 为前 $100$ 个正奇数的乘积。求最大的整数 $k$ ，使得 $P$ 能被 $3^k$ 整除。

Let $P$ be the product of the first $100$ positive odd integers. Find the largest integer $k$ such that $P$ is divisible by $3^k.$

答案

答案：49

知识点：质因数分解整除性

难度评级：2150

小提示：

数一数 $1, 3, 5, \ldots, 199$ 中有多少个能被 $3$ 整除，再数能被 $9$ 、 $27$ 和 $81$ 整除的个数。

Count how many of $1, 3, 5, \ldots, 199$ are divisible by $3,$ then by $9,$ by $27,$ and by $81.$

大提示：

每一层可整除性都会给每个保留下来的项多贡献一个因子 $3$ ，所以 $k$ 是这四个计数之和。

Each divisibility layer adds one more factor of $3$ per surviving term, so $k$ is the sum of the four counts.

解答：

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199$ ，所以 $k$ 是因子 $3$ 的总个数，统计范围是不超过 $199$ 的奇数。 $3$ 的奇数倍为 $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65$ ，共有 $33$ 个。 $9$ 的奇数倍为 $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21$ ，共有 $11$ 个。 $27$ 的奇数倍为 $27, 81, 135, 189$ ，共有 $4$ 个。 $81$ 的奇数倍中，不超过 $199$ 的唯一一个是 $81$ 本身，而且没有 $243$ 的倍数。

每一层都贡献一个额外的因子 $3$ ，所以 $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49$ 。

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199,$ so $k$ is the total number of factors of $3$ among the odd numbers up to $199.$ The odd multiples of $3$ are $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65,$ and there are $33$ of them. The odd multiples of $9$ are $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21:$ $11$ of them. The odd multiples of $27$ are $27, 81, 135, 189:$ $4$ of them. The only odd multiple of $81$ at most $199$ is $81$ itself, and there are no multiples of $243.$

Each layer contributes one additional factor of $3,$ so $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49.$

2006 AIME II 第 3 题

答案：49

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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