Question

求最小正整数 $n$ ，使得 $(xy-3x+7y-21)^n$ 展开并合并同类项后至少有 $1996$ 项。

Find the smallest positive integer $n$ for which the expansion of $(xy-3x+7y-21)^n,$ after like terms have been collected, has at least $1996$ terms.

答案

答案：44

知识点：因式分解二项式定理数对计数

难度评级：1690

小提示：

先将底式因式分解，再取其 $n$ 次方

Factor the expression before raising it to the $n$ th power

大提示：

计算 $x$ 与 $y$ 的指数有多少种不同搭配

Count the distinct choices of the exponents of $x$ and $y$

解答：

底式可分解为 $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3)\end{gathered}\text{。}$ 因此它的 $n$ 次方为 $(x+7)^n(y-3)^n$ 。 $x$ 的指数可取从 $0$ 到 $n$ 的每个值，而每个值都可与 $y$ 从 $0$ 到 $n$ 的每个指数搭配，并且所得各项的系数都不为零。因此共有 $(n+1)^2$ 项。由于 $44^2<1996\leq45^2$ ， $n+1$ 的最小可能值为 $45$ ，所以 $n=44$ 。

The base factors as $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Hence its $n$ th power is $(x+7)^n(y-3)^n.$ Each exponent of $x$ from $0$ through $n$ can occur with each exponent of $y$ from $0$ through $n,$ and every resulting coefficient is nonzero. Thus there are $(n+1)^2$ terms. Since $44^2<1996\leq45^2,$ the least possible $n+1$ is $45,$ so $n=44.$

1996 AIME 第 3 题

答案：44

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题