Question

设 $L$ 是斜率为 $\frac{5}{12}$ 且经过点 $A = (24, -1)$ 的直线，设 $M$ 是垂直于直线 $L$ 且经过点 $B = (5, 6)$ 的直线。原来的坐标轴被擦去，并把直线 $L$ 作为 $x$ -轴，直线 $M$ 作为 $y$ -轴。在新的坐标系中，点 $A$ 在正 $x$ -轴上，点 $B$ 在正 $y$ -轴上。原坐标系中坐标为 $(-14, 27)$ 的点 $P$ ，在新坐标系中的坐标为 $(\alpha, \beta)$ 。求 $\alpha + \beta$ 。

Let $L$ be the line with slope $\frac{5}{12}$ that contains the point $A = (24, -1),$ and let $M$ be the line perpendicular to line $L$ that contains the point $B = (5, 6).$ The original coordinate axes are erased, and line $L$ is made the $x$ -axis and line $M$ the $y$ -axis. In the new coordinate system, point $A$ is on the positive $x$ -axis, and point $B$ is on the positive $y$ -axis. The point $P$ with coordinates $(-14, 27)$ in the original system has coordinates $(\alpha, \beta)$ in the new coordinate system. Find $\alpha + \beta.$

答案

答案：31

知识点：坐标几何距离公式变换

难度评级：2390

小提示：

$P$ 的新坐标是它到新坐标轴的有向距离： $\alpha$ 是到直线 $M$ 的距离， $\beta$ 是到直线 $L$ 的距离

The new coordinates of $P$ are its signed distances to the new axes: $\alpha$ is the distance to line $M$ and $\beta$ the distance to line $L$

大提示：

使用点到直线的距离公式，并通过检查 $P$ 是否与 $A$ （对于 $\alpha$ ）或 $B$ （对于 $\beta$ ）在同一侧来确定符号

Use the point-to-line distance formula, fixing each sign by checking whether $P$ is on the same side as $A$ (for $\alpha$ ) or as $B$ (for $\beta$ )

解答：

直线 $L$ 为 $5x - 12y - 132 = 0$ ，直线 $M$ 为 $12x + 5y - 90 = 0$ 。一个点的新 $x$ -坐标是它到直线 $M$ 的有向距离，以含有 $A$ 的一侧为正；新 $y$ -坐标是它到直线 $L$ 的有向距离，以含有 $B$ 的一侧为正。

将 $P = (-14, 27)$ 代入 $12x + 5y - 90$ ，得到 $-168 + 135 - 90 = -123$ ，而代入 $A$ 得到 $193 \gt 0$ ；除以 $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ ，得 $\alpha = -\frac{123}{13}$ 。将 $P$ 代入 $5x - 12y - 132$ ，得到 $-70 - 324 - 132 = -526$ ，代入 $B$ 得到 $-179$ ，所以 $P$ 与 $B$ 在 $L$ 的同一侧， $\beta = \frac{526}{13}$ 。

因此 $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31$ 。

Line $L$ is $5x - 12y - 132 = 0$ and line $M$ is $12x + 5y - 90 = 0.$ The new $x$ -coordinate of a point is its signed distance to line $M,$ counted positive on the side containing $A,$ and the new $y$ -coordinate is its signed distance to line $L,$ positive on the side containing $B.$

Substituting $P = (-14, 27)$ into $12x + 5y - 90$ gives $-168 + 135 - 90 = -123,$ while $A$ gives $193 \gt 0;$ dividing by $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,$ we get $\alpha = -\frac{123}{13}.$ Substituting $P$ into $5x - 12y - 132$ gives $-70 - 324 - 132 = -526,$ and $B$ gives $-179,$ so $P$ lies on the same side of $L$ as $B$ and $\beta = \frac{526}{13}.$

Therefore $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.$

2011 AIME I 第 3 题

答案：31

难度评级：2390

小提示：

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解答：

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