Question

设 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，且 $\angle A = 90^\circ$ 。存在一点 $P$ 位于 $\triangle ABC$ 内，使得 $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ ，且 $AP = 10$ 。求 $\triangle ABC$ 的面积。

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $\angle A = 90^\circ.$ There exists a point $P$ inside $\triangle ABC$ such that $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ and $AP = 10.$ Find the area of $\triangle ABC.$

答案

答案：250

知识点：导角正弦定理三角学

难度评级：2460

小提示：

设公共角为 $\omega$ 。在三角形 $APC$ 中， $A$ 与 $C$ 处的角分别为 $90^\circ - \omega$ 和 $\omega$ ，所以 $\angle APC = 90^\circ$

Let $\omega$ be the common angle. In triangle $APC$ the angles at $A$ and $C$ are $90^\circ - \omega$ and $\omega,$ so $\angle APC = 90^\circ$

大提示：

在三角形 $ABP$ 中用正弦定理，并结合 $AC = \frac{AP}{\sin\omega}$ ；最后会化为 $\tan\omega = \frac{1}{2}$

Compare the law of sines in triangle $ABP$ with $AC = \frac{AP}{\sin\omega};$ everything reduces to $\tan\omega = \frac{1}{2}$

解答：

设公共角为 $\omega$ ，并令 $L = AB = AC$ 。因为 $\angle PAB = \omega$ ，所以 $\angle PAC = 90^\circ - \omega$ ，又 $\angle PCA = \omega$ ，三角形 $APC$ 的角和给出 $\angle APC = 90^\circ$ 。因此在直角三角形 $APC$ 中， $L = AC = \frac{AP}{\sin\omega} = \frac{10}{\sin\omega}\text{。}$

在三角形 $ABP$ 中， $A$ 处的角为 $\omega$ ， $B$ 处的角为 $45^\circ - \omega$ ，所以 $\angle APB = 135^\circ$ 。由正弦定理， $\frac{AP}{\sin(45^\circ - \omega)} = \frac{AB}{\sin 135^\circ}$ ，即 $10 \sin 135^\circ = L \sin(45^\circ - \omega)$ 。代入 $L = \frac{10}{\sin\omega}$ 并展开，得 $\begin{aligned} \sin\omega &= \sqrt{2}\,\sin(45^\circ - \omega) \\ &= \cos\omega - \sin\omega \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\tan\omega = \frac{1}{2}$ ，并且 $\sin^2\omega = \frac{1}{5}$ 。

因此 $L^2 = \frac{100}{\sin^2\omega} = 500$ ，面积为 $\frac{1}{2}L^2 = 250$ 。

Let $\omega$ denote the common angle and $L = AB = AC.$ Since $\angle PAB = \omega,$ we have $\angle PAC = 90^\circ - \omega,$ and with $\angle PCA = \omega$ the angles of triangle $APC$ give $\angle APC = 90^\circ.$ Hence in right triangle $APC,$ $L = AC = \frac{AP}{\sin\omega} = \frac{10}{\sin\omega}.$

In triangle $ABP,$ the angle at $A$ is $\omega$ and the angle at $B$ is $45^\circ - \omega,$ so $\angle APB = 135^\circ.$ The law of sines gives $\frac{AP}{\sin(45^\circ - \omega)} = \frac{AB}{\sin 135^\circ},$ that is, $10 \sin 135^\circ = L \sin(45^\circ - \omega).$ Substituting $L = \frac{10}{\sin\omega}$ and expanding yields $\begin{aligned} \sin\omega &= \sqrt{2}\,\sin(45^\circ - \omega) \\ &= \cos\omega - \sin\omega, \end{aligned}$ so $\tan\omega = \frac{1}{2}$ and $\sin^2\omega = \frac{1}{5}.$

Therefore $L^2 = \frac{100}{\sin^2\omega} = 500,$ and the area is $\frac{1}{2}L^2 = 250.$

2023 AIME II 第 3 题

答案：250

难度评级：2460

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