Question

下表列出了去年夏天“霜冻瀑布钓鱼节”的部分比赛结果，显示对于不同的 $n$ ，各有多少名参赛者钓到了 $n$ 条鱼。

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$
钓到 $n$ 条鱼的参赛者人数	$9$	$5$	$7$	$23$	$\ldots$

$n$	$13$	$14$	$15$
钓到 $n$ 条鱼的参赛者人数	$5$	$2$	$1$

报纸在报道本次活动时写道：

（a）冠军钓到了 $15$ 条鱼；
（b）钓到 $3$ 条或更多鱼的人平均每人钓到 $6$ 条；
（c）钓到 $12$ 条或更少鱼的人平均每人钓到 $5$ 条。

钓鱼节期间一共钓到了多少条鱼？

The table below displays some of the results of last summer’s Frostbite Falls Fishing Festival, showing how many contestants caught $n$ fish for various values of $n.$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$
number of contestants who caught $n$ fish	$9$	$5$	$7$	$23$	$\ldots$

$n$	$13$	$14$	$15$
number of contestants who caught $n$ fish	$5$	$2$	$1$

In the newspaper story covering the event, it was reported that

(a) the winner caught $15$ fish;
(b) those who caught $3$ or more fish averaged $6$ fish each;
(c) those who caught $12$ or fewer fish averaged $5$ fish each.

What was the total number of fish caught during the festival?

答案

答案：943

知识点：数据与图表解读方程组加权平均数

难度评级：2070

小提示：

设 $N$ 为参赛者总人数， $T$ 为鱼的总数

Let $N$ be the total number of contestants and $T$ the total number of fish

大提示：

使用两个平均数时，先分别减去钓到少于 $3$ 条鱼和多于 $12$ 条鱼的已知群体

Use the two averages by first subtracting the known groups with fewer than $3$ fish and with more than $12$ fish

解答：

共有 $9+5+7=21$ 名参赛者钓到少于 $3$ 条鱼，他们共钓到 $5+14=19$ 条鱼。因此条件（b）给出 $T-19=6(N-21)$ ，即 $T=6N-107$ 。共有 $5+2+1=8$ 名参赛者钓到多于 $12$ 条鱼，他们共钓到 $65+28+15=108$ 条鱼，因此条件（c）给出 $T-108=5(N-8)$ ，即 $T=5N+68$ 。所以 $N=175$ ，且 $T=943$ 。

The $9+5+7=21$ contestants below $3$ fish caught $5+14=19$ fish. Thus condition (b) gives $T-19=6(N-21),$ or $T=6N-107.$ The $5+2+1=8$ contestants above $12$ fish caught $65+28+15=108$ fish, so condition (c) gives $T-108=5(N-8),$ or $T=5N+68.$ Hence $N=175$ and $T=943.$

1993 AIME 第 3 题

答案：943

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题