Question

设 $m$ 是能被 $17$ 整除且各位数字和为 $17$ 的最小正整数。求 $m$ 。

Let $m$ be the least positive integer divisible by $17$ whose digits sum to $17.$ Find $m.$

答案

答案：476

知识点：数字模运算系统列举

难度评级：2070

小提示：

一个数与它的各位数字和模 $9$ 同余，所以 $m = 17n$ 要求 $17n \equiv 17 \pmod 9$ 。

A number is congruent to its digit sum modulo $9,$ so $m = 17n$ requires $17n \equiv 17 \pmod 9$

大提示：

这迫使 $n \equiv 1 \pmod 9$ ；按从小到大的顺序检查 $n = 1$ 、 $n = 10$ 、 $n = 19$ 、 $n = 28$ 、 $\ldots$

That forces $n \equiv 1 \pmod 9;$ check the cases $n = 1,$ $n = 10,$ $n = 19,$ $n = 28,$ $\ldots$ in increasing order

解答：

每个数都与它的各位数字和模 $9$ 同余，所以 $m = 17n$ 必须满足 $17n \equiv 17 \pmod 9$ ，也就是 $8n \equiv 8 \pmod 9$ ，因此 $n \equiv 1 \pmod 9$ 。

按从小到大的顺序检查候选值： $n = 1$ 、 $n = 10$ 和 $n = 19$ 分别给出 $17$ 、 $170$ 和 $323$ ，它们的数字和都为 $8$ ；但 $n = 28$ 给出 $17 \cdot 28 = 476$ ，数字和为 $4 + 7 + 6 = 17$ 。所以 $m = 476$ 。

Every number is congruent to its digit sum modulo $9,$ so $m = 17n$ must satisfy $17n \equiv 17 \pmod 9,$ that is $8n \equiv 8 \pmod 9,$ which gives $n \equiv 1 \pmod 9.$

Checking the candidates in increasing order: $n = 1,$ $n = 10,$ and $n = 19$ give $17,$ $170,$ and $323,$ with digit sums $8$ each, but $n = 28$ gives $17 \cdot 28 = 476$ with digit sum $4 + 7 + 6 = 17.$ So $m = 476.$

2015 AIME II 第 3 题

答案：476

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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