Question

选取一点 $P$ ，它位于 $\triangle ABC$ 内部。过 $P$ 作分别平行于 $\triangle ABC$ 三边的直线，所得图中三个小三角形 $t_1$ 、 $t_2$ 和 $t_3$ 的面积依次为 $4$ 、 $9$ 和 $49$ 。求 $\triangle ABC$ 的面积。

A point $P$ is chosen in the interior of $\triangle ABC$ so that when lines are drawn through $P$ parallel to the sides of $\triangle ABC,$ the resulting smaller triangles, $t_1,$ $t_2,$ and $t_3$ in the figure, have areas $4,$ $9,$ and $49,$ respectively. Find the area of $\triangle ABC.$

答案

答案：144

知识点：相似面积比

难度评级：2260

小提示：

三个小三角形都与 $\triangle ABC$ 相似

Each of the three smaller triangles is similar to $\triangle ABC$

大提示：

将每个面积比转化为长度比，再把三个长度比相加

Convert each area ratio into a linear ratio and add the three linear ratios

解答：

设 $\triangle ABC$ 的面积为 $K$ 。三个小三角形都与 $\triangle ABC$ 相似，因此相应的长度比分别为 $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}\text{。}$ 每个这样的相似比也等于 $P$ 到某一边的垂直距离除以该边上的高。这三个比正是重心坐标中的面积比 $\frac{[PBC]}{K}$ 、 $\frac{[PCA]}{K}$ 和 $\frac{[PAB]}{K}$ ，其和为 $1$ 。因此 $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1\text{。}$ 所以 $\sqrt K=12$ ，且 $K=144$ 。

Let the area of $\triangle ABC$ be $K.$ The three small triangles are similar to $\triangle ABC,$ so their corresponding linear ratios are $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}.$ Each such scale factor is also the perpendicular distance from $P$ to one side divided by the altitude to that side. These are the three barycentric area ratios $\frac{[PBC]}{K},$ $\frac{[PCA]}{K},$ and $\frac{[PAB]}{K},$ which add to $1.$ Hence $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1.$ Therefore $\sqrt K=12$ and $K=144.$

1984 AIME 第 3 题

答案：144

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题