Question

整数 $n$ 是 $15$ 的最小正倍数，并且 $n$ 的每一位数字均为 $8$ 或 $0$ 。求 $\frac{n}{15}$ 。

The integer $n$ is the smallest positive multiple of $15$ such that every digit of $n$ is either $8$ or $0.$ Compute $\frac{n}{15}.$

答案

答案：592

知识点：整除性数字

难度评级：1890

小提示：

被 $5$ 整除的条件决定了末位数字

Divisibility by $5$ determines the last digit

大提示：

被 $3$ 整除的条件限制了数字 $8$ 出现的次数

Divisibility by $3$ restricts the number of digits equal to $8$

解答：

$15$ 的倍数必须以 $0$ 结尾，且各位数字之和能被 $3$ 整除。因为 $8\equiv2\pmod3$ ，数字 $8$ 的个数必须是 $3$ 的正倍数。因此，最小的可能数由三个 $8$ 后接一个 $0$ 组成，即 $n=8880$ 。所以 $\frac{n}{15}=592$ 。

A multiple of $15$ must end in $0$ and have digit sum divisible by $3.$ Because $8\equiv2\pmod3,$ the number of $8$ ’s must be a positive multiple of $3.$ The smallest possible number therefore has three $8$ ’s followed by $0,$ namely $n=8880.$ Thus $\frac{n}{15}=592.$

1984 AIME 第 2 题

答案：592

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题