Question

求 $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ 的值，其中 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 构成公差为 $1$ 的等差数列，且 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137$ 。

Find the value of $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ if $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is an arithmetic progression with common difference $1,$ and $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

答案

答案：93

知识点：等差数列求和

难度评级：1580

小提示：

将奇数下标的项与偶数下标的项配对

Pair the odd-indexed terms with the even-indexed terms

大提示：

每个偶数下标的项都比紧邻其前的奇数下标项大 $1$

Each even-indexed term is $1$ greater than the odd-indexed term immediately before it

解答：

令 $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ ， $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}$ 。共有 $49$ 对，并且 $a_{2k}-a_{2k-1}=1$ ，所以 $E-O=49$ 。又有 $E+O=137$ 。将两个等式相加，得到 $2E=186$ ，因此 $E=93$ 。

Let $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ and $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.$ There are $49$ pairs, and $a_{2k}-a_{2k-1}=1,$ so $E-O=49.$ Also $E+O=137.$ Adding the two equations gives $2E=186,$ and hence $E=93.$

1984 AIME 第 1 题

答案：93

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题