2016 AIME I Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2016 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2016 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:geometric sequence algebraic manipulation

Difficulty rating: 1840

For $-1 \lt r \lt 1,$ let $S(r)$ denote the sum of the geometric series $12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.$ Let $a$ between $-1$ and $1$ satisfy $S(a)S(-a) = 2016.$ Find $S(a) + S(-a).$

答案

Solution:

The geometric series sums to $S(r) = \frac{12}{1 - r}.$ Therefore $S(a)S(-a) = \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} = \frac{144}{1 - a^2} = 2016,$ so $\frac{1}{1 - a^2} = 14.$

Adding the two sums over a common denominator, $S(a) + S(-a) = \frac{12}{1 - a} + \frac{12}{1 + a} = \frac{24}{1 - a^2} = 24 \cdot 14 = 336.$

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