2025 AIME I Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2025 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2025 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:number base divisibility bounding to limit cases

Difficulty rating: 1890

Find the sum of all integer bases $b \gt 9$ for which $17_b$ is a divisor of $97_b.$

答案

Solution:

In base $b$ the two numbers are $17_b = b + 7$ and $97_b = 9b + 7.$ We need $b + 7 \mid 9b + 7,$ and since $b + 7$ certainly divides $9(b + 7) = 9b + 63,$ this is equivalent to $b + 7 \mid (9b + 63) - (9b + 7) = 56.$

For $b \gt 9$ we have $b + 7 \gt 16,$ so $b + 7$ must be $28$ or $56,$ giving $b = 21$ or $b = 49.$ The sum is $21 + 49 = 70.$

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Problem 1 in Other Years

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