Question

求所有整数进制 $b \gt 9$ 的和，使得 $17_b$ 是 $97_b$ 的因数。

Find the sum of all integer bases $b \gt 9$ for which $17_b$ is a divisor of $97_b.$

答案

答案：70

知识点：进制整除性极限情形界定

难度评级：1890

小提示：

把这两个以 $b$ 为底的数写成通常数值：它们是 $b + 7$ 和 $9b + 7$

Write the two numbers in base $b:$ they are $b + 7$ and $9b + 7$

大提示：

因为 $9(b + 7) - (9b + 7) = 56$ ，条件就是 $b + 7$ 整除 $56$

Since $9(b + 7) - (9b + 7) = 56,$ the condition is that $b + 7$ divides $56$

解答：

在 $b$ 进制中，这两个数是 $17_b = b + 7$ 和 $97_b = 9b + 7$ 。我们需要 $9b + 7$ 能被 $b + 7$ 整除，又因为 $b + 7$ 一定整除 $9(b + 7) = 9b + 63$ ，所以这等价于 $\begin{gathered} (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56 \end{gathered}$ 能被 $b + 7$ 整除。

由于 $b \gt 9$ 有 $b + 7 \gt 16$ ，所以 $b + 7$ 只能是 $28$ 或 $56$ ，从而 $b = 21$ 或 $b = 49$ 。所求和为 $21 + 49 = 70$ 。

In base $b$ the two numbers are $17_b = b + 7$ and $97_b = 9b + 7.$ We need $9b + 7$ to be divisible by $b + 7,$ and since $b + 7$ certainly divides $9(b + 7) = 9b + 63,$ this is equivalent to $\begin{gathered} (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56 \end{gathered}$ being divisible by $b + 7.$

For $b \gt 9$ we have $b + 7 \gt 16,$ so $b + 7$ must be $28$ or $56,$ giving $b = 21$ or $b = 49.$ The sum is $21 + 49 = 70.$

2025 AIME I 第 1 题

答案：70

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题