Question

设 $N$ 是满足以下性质的最大正整数：从左到右看， $N$ 的每一对相邻数字都组成一个完全平方数。求 $N$ 最左边的三位数字。

Let $N$ be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of $N$ forms a perfect square. What are the leftmost three digits of $N?$

答案

答案：816

知识点：数字完全平方数系统列举

难度评级：1890

小提示：

每一对相邻数字必须是两位完全平方数 $16$ 、 $25$ 、 $36$ 、 $49$ 、 $64$ 、 $81$ 之一。

Each adjacent digit pair must be one of the two-digit perfect squares $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81$

大提示：

每个数字至多只有一个可能的下一个数字，所以追踪各条链并取最长的一条。

Every digit has at most one possible next digit, so trace the chains and take the longest one

解答：

每一对相邻数字必须是两位完全平方数 $16$ 、 $25$ 、 $36$ 、 $49$ 、 $64$ 、 $81$ 之一。因此，若某个数字有后继，它就唯一确定这个后继： $1 \to 6$ 、 $2 \to 5$ 、 $3 \to 6$ 、 $4 \to 9$ 、 $6 \to 4$ 、 $8 \to 1$ ，而 $5$ 和 $9$ 会结束这个数。

从每个可能的起始数字追踪，最长的数字串为 $25$ 、 $3649$ 和 $81649$ 。五位链 $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ 长于其他所有链，所以 $N = 81649$ ，其最左边三位数字为 $816$ 。

Each pair of consecutive digits must be one of the two-digit squares $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ So each digit determines its successor uniquely if one exists: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ while $5$ and $9$ end the number.

Following these chains from each possible starting digit, the longest strings are $25,$ $3649,$ and $81649.$ The five-digit chain $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ beats everything else, so $N = 81649,$ whose leftmost three digits are $816.$

2001 AIME II 第 1 题

答案：816

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题