Question

求所有小于 $10$ ，且化为最简分数后分母为 $30$ 的正有理数之和。

Find the sum of all positive rational numbers that are less than $10$ and that have denominator $30$ when written in lowest terms.

答案

答案：400

知识点：欧拉函数分数求和

难度评级：1780

小提示：

将每个数写成 $\frac{k}{30}$ ，并加上条件 $\gcd(k,30)=1$

Write every number as $\frac{k}{30}$ and impose the condition $\gcd(k,30)=1$

大提示：

将符合条件的分子分成十个长度为 $30$ 的区间

Group the eligible numerators into ten blocks of length $30$

解答：

这些数可写成 $\frac{k}{30}$ ，其中 $1\leq k\lt300$ 且 $\gcd(k,30)=1$ 。每个区间中有 $\varphi(30)=8$ 个符合条件的余数，区间长度为 $30$ ，而这些余数之和为 $\frac{30\varphi(30)}{2}=120$ 。因此，所有符合条件的分子之和为 $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000\end{aligned}\text{。}$ 再除以 $30$ ，得到 $400$ 。

The numbers are $\frac{k}{30}$ for $1\leq k\lt300$ and $\gcd(k,30)=1.$ There are $\varphi(30)=8$ eligible residues in each block of $30,$ and their sum is $\frac{30\varphi(30)}{2}=120.$ Thus the sum of all eligible numerators is $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000.\end{aligned}$ Dividing by $30$ gives $400.$

1992 AIME 第 1 题

答案：400

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题