Question

设 $x_1=97$ ，且当 $n\gt1$ 时，令 $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}$ 。求乘积 $x_1x_2\cdots x_8$ 。

Let $x_1=97,$ and for $n\gt1$ let $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calculate the product $x_1x_2\cdots x_8.$

答案

答案：384

知识点：递推代数变形

难度评级：1610

小提示：

利用递推关系将相邻项相乘

Multiply consecutive terms using the recurrence

大提示：

将所求乘积组合为 $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Group the requested product as $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

解答：

由递推关系可得 $x_{n-1}x_n=n$ 。因此 $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384 \end{aligned}\text{。}$

The recurrence gives $x_{n-1}x_n=n.$ Therefore $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

1985 AIME 第 1 题

答案：384

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题