Question

将一个直角三角形绕一条直角边旋转，所得圆锥的体积为 $800\pi\text{ cm}^3$ 。将该三角形绕另一条直角边旋转，所得圆锥的体积为 $1920\pi\text{ cm}^3$ 。该三角形的斜边长是多少厘米？

When a right triangle is rotated about one leg, the volume of the cone produced is $800\pi\text{ cm}^3.$ When the triangle is rotated about the other leg, the volume of the cone produced is $1920\pi\text{ cm}^3.$ What is the length (in cm) of the hypotenuse of the triangle?

答案

答案：26

知识点：圆锥体积勾股定理

难度评级：1890

小提示：

用三角形的两条直角边 $a$ 和 $b$ 表示两个圆锥的体积

Write the two cone volumes in terms of the triangle’s legs $a$ and $b$

大提示：

两个体积方程相除，即可得到两条直角边之比

Dividing the volume equations gives the ratio of the two legs

解答：

设两条直角边为 $a$ 和 $b$ 。适当安排对应关系，可得 $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi \end{aligned}\text{。}$ 两式相除得 $\frac{a}{b}=\frac{12}{5}$ ，因而令 $a=12k$ ，且 $b=5k$ 。第一个方程化为 $100k^3=800$ ，所以 $k=2$ 。两条直角边分别为 $24$ 和 $10$ ，因此斜边长为 $\sqrt{24^2+10^2}=26$ 。

Let the legs be $a$ and $b.$ In a suitable order, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Their ratio gives $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ so write $a=12k$ and $b=5k.$ The first equation becomes $100k^3=800,$ hence $k=2.$ The legs are $24$ and $10,$ so the hypotenuse is $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

1985 AIME 第 2 题

答案：26

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题