Question

求所有满足 $n + 2$ 整除 $3(n + 3)(n^2 + 9)$ 的正整数 $n$ 的和。

Find the sum of all positive integers $n$ such that $n + 2$ divides the product $3(n + 3)(n^2 + 9).$

答案

答案：49

知识点：模运算整除性因数

难度评级：1890

小提示：

在模 $n + 2$ 下，乘积 $3(n+3)(n^2+9)$ 同余于一个常数：代入 $n \equiv -2$

Modulo $n + 2,$ the product $3(n+3)(n^2+9)$ is congruent to a constant: substitute $n \equiv -2$

大提示：

你需要 $n + 2$ 整除 $3 \cdot 1 \cdot 13 = 39$ ，且 $n + 2 \ge 3$

You need $n + 2$ to divide $3 \cdot 1 \cdot 13 = 39,$ with $n + 2 \ge 3$

解答：

在模 $n + 2$ 下计算，此时 $n \equiv -2$ 。于是 $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2} \end{gathered}\text{，}$ 所以 $n + 2$ 整除 $3(n+3)(n^2+9)$ 当且仅当 $n + 2$ 整除 $39$ 。

$39$ 中至少为 $3$ 的正因数是 $3$ 、 $13$ 、 $39$ ，对应 $n = 1$ 、 $11$ 、 $37$ 。它们的和为 $1 + 11 + 37 = 49$ 。

Work modulo $n + 2,$ where $n \equiv -2.$ Then $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}$ so $n + 2$ divides $3(n+3)(n^2+9)$ exactly when $n + 2$ divides $39.$

The divisors of $39$ that are at least $3$ are $3,$ $13,$ and $39,$ giving $n = 1,$ $11,$ and $37.$ The sum is $1 + 11 + 37 = 49.$

2025 AIME II 第 2 题

答案：49

难度评级：1890

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解答：

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