Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 12$ ， $BC = 10$ 。点 $E$ 和 $F$ 在长方形 $ABCD$ 内部，使得 $BE = 9$ ， $DF = 8$ ， $\overline{BE} \parallel \overline{DF}$ ， $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ ，且直线 $BE$ 与线段 $\overline{AD}$ 相交。长度 $EF$ 可表示为 $m\sqrt{n} - p$ 的形式，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数，且 $n$ 不被任何素数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

In rectangle $ABCD,$ $AB = 12$ and $BC = 10.$ Points $E$ and $F$ lie inside rectangle $ABCD$ so that $BE = 9,$ $DF = 8,$ $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ and line $BE$ intersects segment $\overline{AD}.$ The length $EF$ can be expressed in the form $m\sqrt{n} - p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：36

知识点：坐标几何向量勾股定理

难度评级：2390

小提示：

因为 $\overline{BE} \parallel \overline{DF}$ ，可取同一个单位向量 $(u, v)$ ，并写成 $E = B - 9(u, v)$ 与 $F = D + 8(u, v)$

Since $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ write $E = B - 9(u, v)$ and $F = D + 8(u, v)$ for one unit vector $(u, v)$

大提示：

$\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ 迫使 $E$ 与 $F$ 高度相同，从而 $v = \frac{10}{17}$ ；接着 $EF$ 是两个 $x$ -坐标之差

$\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ forces $E$ and $F$ to the same height, giving $v = \frac{10}{17};$ then $EF$ is a difference of $x$ -coordinates

解答：

取坐标 $D = (0, 0)$ 、 $C = (12, 0)$ 、 $B = (12, 10)$ 、 $A = (0, 10)$ 。因为 $\overline{BE} \parallel \overline{DF}$ ，存在一个单位向量 $(u, v)$ ，其中 $u, v \gt 0$ ，使得 $E = B - 9(u, v)$ 、 $F = D + 8(u, v)$ ：直线 $BE$ 向左下方延伸，才能穿过 $\overline{AD}$ ，而 $\overline{DF}$ 向右上方指向长方形内部。

因为 $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ 是水平的， $E$ 和 $F$ 的高度相等： $10 - 9v = 8v$ ，所以 $v = \frac{10}{17}$ ，并且 $u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}$ 。

于是 $E$ 和 $F$ 的 $x$ -坐标分别为 $12 - 9u$ 和 $8u$ ，所以 $EF = |12 - 17u|$ $= |12 - 3\sqrt{21}|$ $= 3\sqrt{21} - 12$ ，因为 $3\sqrt{21} \gt 12$ 。因此 $m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36$ 。

Place $D = (0, 0),$ $C = (12, 0),$ $B = (12, 10),$ $A = (0, 10).$ Since $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ there is a unit vector $(u, v)$ with $u, v \gt 0$ such that $E = B - 9(u, v)$ and $F = D + 8(u, v):$ line $BE$ heads down and to the left so that it can cross $\overline{AD},$ while $\overline{DF}$ points up and to the right into the rectangle.

Because $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ is horizontal, $E$ and $F$ have equal heights: $10 - 9v = 8v,$ so $v = \frac{10}{17}$ and $u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.$

Then $E$ and $F$ have $x$ -coordinates $12 - 9u$ and $8u,$ so $EF = |12 - 17u|$ $= |12 - 3\sqrt{21}|$ $= 3\sqrt{21} - 12,$ since $3\sqrt{21} \gt 12.$ Thus $m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.$

2011 AIME I 第 2 题

答案：36

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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