Question

$A$ 瓶中有四升含酸量为 $45$ % 的溶液。 $B$ 瓶中有五升含酸量为 $48$ % 的溶液。 $C$ 瓶中有一升含酸量为 $k$ % 的溶液。从 $C$ 瓶中取出 $\frac{m}{n}$ 升加入 $A$ 瓶， $C$ 瓶中剩下的溶液加入 $B$ 瓶。最后 $A$ 瓶和 $B$ 瓶中的溶液都含有 $50$ % 的酸。已知 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $k + m + n$ 。

Jar $A$ contains four liters of a solution that is $45$ % acid. Jar $B$ contains five liters of a solution that is $48$ % acid. Jar $C$ contains one liter of a solution that is $k$ % acid. From jar $C$ , $\frac{m}{n}$ liters of the solution is added to jar $A$ , and the remainder of the solution in jar $C$ is added to jar $B$ . At the end both jar $A$ and jar $B$ contain solutions that are $50$ % acid. Given that $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $k + m + n.$

答案

答案：85

知识点：混合问题百分数

难度评级：1950

小提示：

想象把三瓶全部混合在一起：结果是 $10$ 升含酸量为 $50$ % 的溶液，这可以确定 $k$

Imagine pouring all three jars together: the result is $10$ liters that must be $50$ % acid, which determines $k$

大提示：

知道 $k$ 后，设加入 $A$ 瓶的量为 $x$ ，并令 $A$ 瓶中的酸量等于新体积的一半

With $k$ known, let $x$ be the amount added to jar $A$ and set jar $A$ ’s acid equal to half of its new volume

解答：

如果把三瓶全部混合，结果会是 $10$ 升含酸量为 $50$ % 的溶液，因为最后两瓶都是 $50$ % 酸。因此总酸量为 $5$ 升，所以 $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5$ ，解得 $k = 80$ 。

现在设从 $C$ 瓶倒入 $A$ 瓶的量为 $x$ 升。 $A$ 瓶于是有 $4 + x$ 升溶液，其中含有 $1.8 + 0.8x$ 升酸，所以 $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x)$ ，得 $0.3x = 0.2$ ，因此 $x = \frac{2}{3}$ 。

所以 $m + n = 2 + 3 = 5$ ，并且 $k + m + n = 80 + 5 = 85$ 。

If all three jars were combined, the result would be $10$ liters of $50$ % acid, since both final jars are $50$ % acid. The total acid is therefore $5$ liters, so $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ which gives $k = 80.$

Now let $x$ be the number of liters poured from jar $C$ into jar $A$ . Jar $A$ then holds $4 + x$ liters containing $1.8 + 0.8x$ liters of acid, so $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ giving $0.3x = 0.2,$ so $x = \frac{2}{3}.$

Thus $m + n = 2 + 3 = 5,$ and $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

2011 AIME I 第 1 题

答案：85

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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