Question

六个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 按这个顺序位于同一直线上。设 $G$ 是不在这条直线上的一点，且 $AC = 26$ 、 $BD = 22$ 、 $CE = 31$ 、 $DF = 33$ 、 $AF = 73$ 、 $CG = 40$ 、 $DG = 30$ 。求 $\triangle BGE$ 的面积。

Six points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie in a straight line in that order. Suppose that $G$ is a point not on the line and that $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ and $DG = 30.$ Find the area of $\triangle BGE.$

答案

答案：468

知识点：坐标几何距离公式三角形面积

难度评级：2010

小提示：

把这条直线放在数轴上，并令 $A = 0$ ；距离 $AC$ 、 $BD$ 、 $CE$ 、 $DF$ 、 $AF$ 会确定每个点的位置

Put the line on a number line with $A = 0;$ the distances $AC,$ $BD,$ $CE,$ $DF,$ $AF$ determine every point

大提示：

得到 $CD = 14$ 后，利用 $CG = 40$ 和 $DG = 30$ 求出 $G$ 到直线的高度； $BE$ 是底边

With $CD = 14,$ use $CG = 40$ and $DG = 30$ to find how high $G$ sits above the line; $BE$ is the base

解答：

把直线放在数轴上，并令 $A = 0$ 。于是 $C = 26$ 、 $E = 26 + 31 = 57$ 、 $F = 73$ 、 $D = 73 - 33 = 40$ 、 $B = 40 - 22 = 18$ 。

写 $G = (x, y)$ 。由 $CG = 40$ 和 $DG = 30$ ，可得 $(x - 26)^2 + y^2 = 1600\text{，}$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900\text{。}$ 两式相减得 $14(2x - 66) = 700$ ，所以 $x = 58$ ，进而 $y^2 = 1600 - 32^2 = 576$ ，因此 $G$ 到直线的高度为 $24$ 。

因为 $B$ 和 $E$ 都在这条直线上， $BE = 57 - 18 = 39$ 可作底边，高为 $24$ ，所以面积为 $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468$ 。

Place the line on a number line with $A = 0.$ Then $C = 26,$ $E = 26 + 31 = 57,$ $F = 73,$ $D = 73 - 33 = 40,$ and $B = 40 - 22 = 18.$

Write $G = (x, y).$ From $CG = 40$ and $DG = 30,$ $(x - 26)^2 + y^2 = 1600,$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900.$ Subtracting gives $14(2x - 66) = 700,$ so $x = 58,$ and then $y^2 = 1600 - 32^2 = 576,$ so $G$ is at height $24$ above the line.

Since $B$ and $E$ both lie on the line, $BE = 57 - 18 = 39$ is a base with height $24,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.$

2025 AIME II 第 1 题

答案：468

难度评级：2010

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