Question

已知 $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!$ ，其中 $k$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 尽可能大。求 $k + n$ 。

Given that $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ where $k$ and $n$ are positive integers and $n$ is as large as possible, find $k + n.$

答案

答案：839

知识点：阶乘极限情形界定

难度评级：1670

小提示：

先计算里面的阶乘： $3! = 6$ ，所以原式是 $\frac{720!}{6}$ 。

Compute the inner factorials: $3! = 6,$ so the expression is $\frac{720!}{6}$

大提示：

写成 $720! = 720 \cdot 719!$ ，并注意若 $n = 720$ ，则 $k \cdot n!$ 会太大。

Write $720! = 720 \cdot 719!$ and note that $n = 720$ would make $k \cdot n!$ too large

解答：

因为 $3! = 6$ 且 $6! = 720$ ，原式为 $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719! \end{aligned}\text{。}$

若 $n$ 为 $720$ 或更大，则 $k \cdot n! \ge 720!$ ，这超过了 $\frac{720!}{6}$ 。因此 $n$ 的最大可能值是 $719$ ，此时 $k = 120$ ，所以 $k + n = 120 + 719 = 839$ 。

Since $3! = 6$ and $6! = 720,$ the expression is $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}$

If $n$ were $720$ or more, then $k \cdot n! \ge 720!,$ which exceeds $\frac{720!}{6}.$ So the largest possible value of $n$ is $719,$ achieved with $k = 120,$ and $k + n = 120 + 719 = 839.$

2003 AIME I 第 1 题

答案：839

难度评级：1670

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解答：

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