2003 AIME I Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2003 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2003 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:factorial bounding to limit cases

Difficulty rating: 1670

Given that $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ where $k$ and $n$ are positive integers and $n$ is as large as possible, find $k + n.$

答案

Solution:

Since $3! = 6$ and $6! = 720,$ the expression is $\frac{((3!)!)!}{3!} = \frac{720!}{6} = \frac{720 \cdot 719!}{6} = 120 \cdot 719!.$

If $n$ were $720$ or more, then $k \cdot n! \ge 720!,$ which exceeds $\frac{720!}{6}.$ So the largest possible value of $n$ is $719,$ achieved with $k = 120,$ and $k + n = 120 + 719 = 839.$

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