2003 AIME II Problem 1

Below is the professionally curated solution for Problem 1 of the 2003 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2003 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:Diophantine Equation factoring

Difficulty rating: 1840

The product $N$ of three positive integers is $6$ times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of $N.$

答案

Solution:

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b.$ Then $N = abc = 6(a + b + c) = 6 \cdot 2c = 12c,$ and cancelling $c$ from $abc = 12c$ leaves $ab = 12.$

The factorizations $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ give $c = 13,$ $8,$ $7$ and $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ The sum of all possible values is $156 + 96 + 84 = 336.$

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Problem 1 in Other Years

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