Question

三个正整数的乘积 $N$ 是它们和的 $6$ 倍。已知其中一个整数等于另外两个整数的和。求 $N$ 的所有可能值之和。

The product $N$ of three positive integers is $6$ times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of $N.$

答案

答案：336

知识点：丢番图方程因式分解

难度评级：1840

小提示：

设这三个整数为 $a$ 、 $b$ 和 $c = a + b$ ，然后代入 $abc = 6(a + b + c)$

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b,$ and substitute into $abc = 6(a + b + c)$

大提示：

方程化简为 $ab = 12$ ； $12$ 的每一种因数分解都会给出一个 $N = 12c$ 的值

The equation reduces to $ab = 12;$ each way of factoring $12$ gives one value of $N = 12c$

解答：

设这三个整数为 $a$ 、 $b$ 和 $c = a + b$ 。则 $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c \end{aligned}\text{，}$ 并且从 $abc = 12c$ 中约去 $c$ 得到 $ab = 12$ 。

因数分解 $(a, b) = (1, 12)$ 、 $(2, 6)$ 、 $(3, 4)$ 分别给出 $c = 13$ 、 $8$ 、 $7$ ，因而 $N = 12c = 156$ 、 $96$ 、 $84$ 。所有可能值之和为 $156 + 96 + 84 = 336$ 。

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b.$ Then $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ and cancelling $c$ from $abc = 12c$ leaves $ab = 12.$

The factorizations $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ give $c = 13,$ $8,$ $7$ and $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ The sum of all possible values is $156 + 96 + 84 = 336.$

2003 AIME II 第 1 题

答案：336

难度评级：1840

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解答：

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