Question

二次多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 的首项系数分别为 $2$ 和 $-2$ ，这两个多项式的图像都经过 $(16, 54)$ 和 $(20, 53)$ 两点。求 $P(0) + Q(0)$ 。

Quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have leading coefficients of $2$ and $-2,$ respectively. The graphs of both polynomials pass through the two points $(16, 54)$ and $(20, 53).$ Find $P(0) + Q(0).$

答案

答案：116

知识点：多项式一次方程

难度评级：1890

小提示：

考虑 $R(x) = P(x) + Q(x)$ ：二次项会抵消，所以 $R$ 是一次函数

Consider $R(x) = P(x) + Q(x):$ the quadratic terms cancel, so $R$ is linear

大提示：

$R$ 经过 $(16, 108)$ 和 $(20, 106)$ ；把这条直线延伸回 $x = 0$

$R$ passes through $(16, 108)$ and $(20, 106);$ extend that line back to $x = 0$

解答：

令 $R(x) = P(x) + Q(x)$ 。首项系数 $2$ 和 $-2$ 抵消，所以 $R$ 是一次函数。因为两个图像都经过 $(16, 54)$ 和 $(20, 53)$ ，所以 $R(16) = 108$ 且 $R(20) = 106$ 。

$R$ 的斜率为 $\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2}$ ，所以 $\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116 \end{aligned}\text{。}$

Let $R(x) = P(x) + Q(x).$ The leading coefficients $2$ and $-2$ cancel, so $R$ is a linear function. Since both graphs pass through $(16, 54)$ and $(20, 53),$ we get $R(16) = 108$ and $R(20) = 106.$

The slope of $R$ is $\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},$ so $\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}$

2022 AIME I 第 1 题

答案：116

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