Question

递增数列 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $11$ 、 $\ldots$ 由所有既不是正整数的平方也不是正整数的立方的正整数组成。求此数列的第 $500$ 项。

The increasing sequence $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ consists of all positive integers that are neither the square nor the cube of a positive integer. Find the $500$ th term of this sequence.

答案

答案：528

知识点：区间内整数计数容斥原理完全平方数

难度评级：1800

小提示：

用容斥法数出不超过候选端点的完全平方数和完全立方数

Count squares and cubes up to a candidate endpoint by inclusion-exclusion

大提示：

同时是完全平方数和完全立方数的数是六次幂

Numbers that are both squares and cubes are sixth powers

解答：

不超过 $529$ 的完全平方数有 $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ 个，完全立方数有 $8$ 个，并且有 $2$ 个六次幂被两组重复计算。因此，不超过 $529$ 的合格项数为 $529-23-8+2=500\text{。}$ 但是 $529=23^2$ 应被排除，而 $528$ 既不是完全平方数也不是完全立方数。所以第 $500$ 项是 $528$ 。

Through $529,$ there are $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ squares, $8$ cubes, and $2$ sixth powers counted in both groups. Thus the number of allowed terms at most $529$ is $529-23-8+2=500.$ But $529=23^2$ is excluded, while $528$ is neither a square nor a cube. Therefore the $500$ th term is $528.$

1990 AIME 第 1 题

答案：528

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题