Question

小于 $10^6$ 的正完全平方数中，有多少个是 $24$ 的倍数？

How many positive perfect squares less than $10^6$ are multiples of $24?$

答案

答案：83

知识点：完全平方数质因数分解倍数

难度评级：1790

小提示：

一个完全平方数是 $24 = 2^3 \cdot 3$ 的倍数，当且仅当它的平方根是 $12$ 的倍数

A perfect square is a multiple of $24 = 2^3 \cdot 3$ exactly when its square root is a multiple of $12$

大提示：

统计 $12$ 的倍数中平方小于 $10^6$ 的数，也就是 $12$ 的倍数中小于 $1000$ 的数

Count the multiples of $12$ whose squares are less than $10^6,$ i.e. the multiples of $12$ less than $1000$

解答：

因为 $24 = 2^3 \cdot 3$ ，平方数 $N^2$ 是 $24$ 的倍数，当且仅当 $N$ 是 $12$ 的倍数：因子 $2^3$ 要求 $N$ 含有 $2^2$ ，因子 $3$ 要求 $N$ 含有 $3$ ，反过来 $(12m)^2 = 144m^2$ 一定是 $24$ 的倍数。同时 $N^2 \lt 10^6$ 当且仅当 $N \lt 1000$ 。

这些 $12$ 的倍数若小于 $1000$ ，就是 $12, 24, \ldots, 996$ ，共有 $\frac{996}{12} = 83$ 个。

Since $24 = 2^3 \cdot 3,$ a square $N^2$ is a multiple of $24$ exactly when $N$ is a multiple of $12:$ the factor $2^3$ forces $N$ to contain $2^2,$ the factor $3$ forces $N$ to contain $3,$ and conversely $(12m)^2 = 144m^2$ is always a multiple of $24.$ Also $N^2 \lt 10^6$ exactly when $N \lt 1000.$

The multiples of $12$ less than $1000$ are $12, 24, \ldots, 996,$ and there are $\frac{996}{12} = 83$ of them.

2007 AIME I 第 1 题

答案：83

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题