Question

求 $x^2+y^2$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是满足下式的正整数： $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880\end{aligned}\text{。}$

Find $x^2+y^2$ if $x$ and $y$ are positive integers such that $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}$

答案

答案：146

知识点：对称性（代数）方程组二次方程

难度评级：1830

小提示：

令 $s=x+y$ 、 $p=xy$ ，用 $s$ 和 $p$ 改写两个已知方程。

Let $s=x+y$ and $p=xy$ , and rewrite both given equations using $s$ and $p$

大提示：

两个方程分别给出了 $s+p$ 和 $sp$ ，因此 $s$ 和 $p$ 是同一个二次方程的两个根。

The two equations determine $s+p$ and $sp$ , so $s$ and $p$ are roots of one quadratic

解答：

令 $s=x+y$ 、 $p=xy$ 。原方程组化为 $s+p=71$ 和 $sp=880$ ，所以 $s$ 和 $p$ 是下列二次方程的两个根： $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0\text{。}\end{aligned}$ 因为 $x$ 和 $y$ 都是正整数，所以 $s=16$ 、 $p=55$ ；事实上， $x=5$ 、 $y=11$ 。因此 $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146\end{aligned}\text{。}$

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ The equations become $s+p=71$ and $sp=880,$ so $s$ and $p$ are the roots of $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0.\end{aligned}$ Because $x$ and $y$ are positive integers, $s=16$ and $p=55$ ; indeed, $x=5$ and $y=11.$ Therefore $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146.\end{aligned}$

1991 AIME 第 1 题

答案：146

难度评级：1830

小提示：

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解答：

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