Question

求所有能被自身每一位数字整除的正两位整数之和。

Find the sum of all positive two-digit integers that are divisible by each of their digits.

答案

答案：630

知识点：数字整除性分类讨论

难度评级：1950

小提示：

若这个数为 $10a + b$ ，则能被十位数字 $a$ 整除会迫使 $b$ 是 $a$ 的倍数。

If the number is $10a + b,$ divisibility by the tens digit $a$ forces $b$ to be a multiple of $a$

大提示：

写成 $b = ka$ 。再由 $10a + b$ 能被 $b$ 整除，可知 $k = 1$ 、 $2$ 或 $5$ 。

Write $b = ka.$ Then $10a + b$ divisible by $b$ forces $k = 1,$ $2,$ or $5$

解答：

设这个数为 $10a + b$ ，其中 $a$ 是十位数字， $b$ 是个位数字。因为 $10a + b$ 能被 $a$ 整除，必须有 $b$ 能被 $a$ 整除，所以 $b = ka$ ，其中 $k$ 为正整数。又因为 $10a + b$ 能被 $b$ 整除，必须有 $10a$ 能被 $b$ 整除，即 $10a$ 能被 $ka$ 整除，所以 $10$ 能被 $k$ 整除。由于 $b = ka \le 9$ ，可能的取值是 $k = 1$ 、 $2$ 和 $5$ 。

当 $k = 1$ 时，数为 $11, 22, \ldots, 99$ ，和为 $11 \cdot 45 = 495$ 。当 $k = 2$ 时，数为 $12, 24, 36, 48$ ，和为 $120$ 。当 $k = 5$ 时，唯一的数是 $15$ 。

总和为 $495 + 120 + 15 = 630$ 。

Let the number be $10a + b$ with tens digit $a$ and units digit $b.$ Since $10a + b$ is divisible by $a,$ we need $b$ to be divisible by $a,$ so $b = ka$ for some positive integer $k.$ Since $10a + b$ is divisible by $b,$ we need $10a$ to be divisible by $b,$ that is $10a$ is divisible by $ka,$ so $10$ is divisible by $k.$ Because $b = ka \le 9,$ only $k = 1,$ $2,$ and $5$ are possible.

For $k = 1$ the numbers are $11, 22, \ldots, 99,$ with sum $11 \cdot 45 = 495.$ For $k = 2$ they are $12, 24, 36, 48,$ with sum $120.$ For $k = 5$ the only one is $15.$

The total is $495 + 120 + 15 = 630.$

2001 AIME I 第 1 题

答案：630

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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