Question

已知：

$(1)$ $x$ 和 $y$ 都是从 $100$ 到 $999$ （含端点）的整数；

$(2)$ $y$ 是把 $x$ 的数字顺序反转后所形成的数；

$(3)$ $z = |x - y|$ 。

$z$ 可能有多少个不同的值？

Given that

$(1)$ $x$ and $y$ are both integers between $100$ and $999,$ inclusive;

$(2)$ $y$ is the number formed by reversing the digits of $x;$ and

$(3)$ $z = |x - y|.$

How many distinct values of $z$ are possible?

答案

答案：9

知识点：位值数字

难度评级：1850

小提示：

写成 $x = 100h + 10t + u$ ；那么 $y = 100u + 10t + h$ ，再计算 $x - y$ 。

Write $x = 100h + 10t + u;$ then $y = 100u + 10t + h,$ and compute $x - y$

大提示：

$z = 99\,|h - u|$ ，而且 $h$ 和 $u$ 都至少为 $1$ ，因为 $x$ 和 $y$ 都是三位数。

$z = 99\,|h - u|,$ and both $h$ and $u$ are at least $1$ because $x$ and $y$ are both three-digit numbers

解答：

设 $x = 100h + 10t + u$ ，其中 $h$ 、 $t$ 、 $u$ 是数字。则 $y = 100u + 10t + h$ ，所以 $z = |x - y| = 99\,|h - u|\text{。}$

因为 $x$ 和 $y$ 都是三位数， $h$ 和 $u$ 都可以从 $1$ 取到 $9$ ，所以 $|h - u|$ 可以是 $0$ 、 $1$ 、 $\ldots$ 、 $8$ 中的任意一个。每个值给出一个不同的 $99$ 的倍数，因此共有 $9$ 个不同的 $z$ 值。

Write $x = 100h + 10t + u$ with digits $h,$ $t,$ $u.$ Then $y = 100u + 10t + h,$ so $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Since both $x$ and $y$ are three-digit numbers, both $h$ and $u$ run from $1$ to $9,$ so $|h - u|$ can be any of $0,$ $1,$ $\ldots,$ $8.$ Each choice gives a different multiple of $99,$ so there are $9$ distinct values of $z.$

2002 AIME II 第 1 题

答案：9

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题