Question

方程 $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ 的所有解之和是多少？

What is the sum of the solutions to the equation $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$

答案

答案：337

知识点：二次方程根式换元法

难度评级：1660

小提示：

代入 $t=\sqrt[4]{x}$

Substitute $t=\sqrt[4]{x}$

大提示：

消去分母后，将所得关于 $t$ 的二次式分解因式

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in $t$

解答：

令 $t=\sqrt[4]{x}$ ，则 $t\geq0$ 。方程化为 $t(7-t)=12\text{，}$ 即 $t^2-7t+12=0$ 。所以 $t=3$ 或 $t=4$ ，且两个值在原方程中都成立。因此 $x=3^4=81$ 或 $x=4^4=256$ ，两者之和为 $81+256=337$ 。

Let $t=\sqrt[4]{x},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t(7-t)=12,$ or $t^2-7t+12=0.$ Thus $t=3$ or $t=4,$ and both values are valid in the original equation. Hence $x=3^4=81$ or $x=4^4=256,$ and their sum is $81+256=337.$

1986 AIME 第 1 题

答案：337

难度评级：1660

小提示：

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解答：

其他年份的第 1 题