Question

考虑整数 $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 位数字}} \end{aligned}\text{。}$ 求 $N$ 的各位数字之和。

Consider the integer $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 digits}}. \end{aligned}$ Find the sum of the digits of $N.$

答案

答案：342

知识点：数字位值

难度评级：1890

小提示：

每一项都是 $10^k - 1$ ，所以 $N$ 是一长串一（后面接一个零）再减去 $321$

Each summand is $10^k - 1,$ so $N$ is a long string of ones (followed by a zero) minus $321$

大提示：

先看减数 $321$ ：用 $11\ldots110$ 减去它只会影响最后四位；数一数剩下多少个一

Subtracting $321$ from $11\ldots110$ disturbs only the last four digits; count the ones that survive

解答：

每一项都是 $10^k - 1$ ，所以 $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321 \end{aligned}\text{。}$

这个减法只改变最后四位： $1110 - 321 = 789$ ，所以最后四位变为 $0789$ 。因此 $N$ 由 $318$ 个一后接 $0789$ 组成，数字和为 $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342$ 。

Each summand is $10^k - 1,$ so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321. \end{aligned}$

The subtraction changes only the last four digits: $1110 - 321 = 789,$ so those four digits become $0789.$ Thus $N$ consists of $318$ ones followed by $0789,$ and the digit sum is $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342.$

2019 AIME I 第 1 题

答案：342

难度评级：1890

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其他年份的第 1 题