Question

Considere el entero $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 dígitos}}. \end{aligned}$ Halle la suma de los dígitos de $N.$

Consider the integer $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 digits}}. \end{aligned}$ Find the sum of the digits of $N.$

Respuesta

Respuesta: 342

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada sumando es $10^k - 1,$ así que $N$ es una larga cadena de unos (seguida de un cero) menos $321$

Each summand is $10^k - 1,$ so $N$ is a long string of ones (followed by a zero) minus $321$

Pista grande:

Restar $321$ de $11\ldots110$ solo altera los últimos cuatro dígitos; cuente los unos que sobreviven

Subtracting $321$ from $11\ldots110$ disturbs only the last four digits; count the ones that survive

Solución:

Cada sumando es $10^k - 1,$ así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321. \end{aligned}$

La resta cambia solo los últimos cuatro dígitos: $1110 - 321 = 789,$ así que esos cuatro dígitos pasan a ser $0789.$ Por lo tanto $N$ consta de $318$ unos seguidos de $0789,$ y la suma de los dígitos es $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342.$

Each summand is $10^k - 1,$ so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321. \end{aligned}$

The subtraction changes only the last four digits: $1110 - 321 = 789,$ so those four digits become $0789.$ Thus $N$ consists of $318$ ones followed by $0789,$ and the digit sum is $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342.$

2019 AIME I Problema 1

Respuesta: 342

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años