Question

El producto $N$ de tres enteros positivos es $6$ veces su suma, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Halla la suma de todos los valores posibles de $N.$

The product $N$ of three positive integers is $6$ times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of $N.$

Respuesta

Solución:

Sean los enteros $a,$ $b,$ y $c = a + b.$ Entonces $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ y al cancelar $c$ en $abc = 12c$ queda $ab = 12.$

Las factorizaciones $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ dan $c = 13,$ $8,$ $7$ y $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ La suma de todos los valores posibles es $156 + 96 + 84 = 336.$

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b.$ Then $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ and cancelling $c$ from $abc = 12c$ leaves $ab = 12.$

The factorizations $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ give $c = 13,$ $8,$ $7$ and $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ The sum of all possible values is $156 + 96 + 84 = 336.$

2003 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años