Question

Sea $N$ el mayor múltiplo entero de $8,$ tal que no haya dos de sus dígitos iguales. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ ?

Let $N$ be the greatest integer multiple of $8,$ no two of whose digits are the same. What is the remainder when $N$ is divided by $1000?$

Respuesta

Solución:

Un entero es divisible entre $8$ exactamente cuando lo es el número formado por sus últimos tres dígitos. Para hacer $N$ lo más grande posible, usa los diez dígitos una vez cada uno y coloca los dígitos mayores primero: los dígitos iniciales son $9876543,$ y los tres dígitos finales son alguna disposición de $0,$ $1,$ $2$ , siempre que una de esas disposiciones sea múltiplo de $8.$

Al verificar $012,$ $021,$ $102,$ $120,$ $201,$ $210,$ el único múltiplo de $8$ es $120.$ Así $N = 9{,}876{,}543{,}120,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $120.$

An integer is divisible by $8$ exactly when the number formed by its last three digits is. To make $N$ as large as possible, use all ten digits once each and put the largest digits first: the leading digits are $9876543,$ and the final three digits are some arrangement of $0,$ $1,$ $2$ — provided one of those arrangements is a multiple of $8.$

Checking $012,$ $021,$ $102,$ $120,$ $201,$ $210,$ the only multiple of $8$ is $120.$ So $N = 9{,}876{,}543{,}120,$ and the remainder upon division by $1000$ is $120.$

2003 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años