Question

El número $n$ puede escribirse en base $14$ como $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},$ puede escribirse en base $15$ como $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},$ y puede escribirse en base $6$ como $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},$ donde $a \gt 0.$ Halle la representación en base $10$ de $n.$

The number $n$ can be written in base $14$ as $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},$ can be written in base $15$ as $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},$ and can be written in base $6$ as $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},$ where $a \gt 0.$ Find the base- $10$ representation of $n.$

Respuesta

Solución:

Escribiendo los valores posicionales, $n = 196a + 14b + c$ $= 225a + 15c + b$ $= 222a + 37c,$ donde $a$ y $c$ son dígitos en base $6$ con $1 \le a \le 5$ y $0 \le c \le 5,$ y $0 \le b \le 13.$

Igualando las dos últimas expresiones da $b = 22c - 3a.$ Sustituir en $196a + 14b + c = 225a + 15c + b$ (que dice $13b = 29a + 14c$ ) produce $13(22c - 3a) = 29a + 14c,$ así $272c = 68a,$ es decir $a = 4c.$ Las cotas de los dígitos obligan a $c = 1,$ $a = 4,$ y entonces $b = 22 - 12 = 10,$ que es un dígito válido en las bases $14$ y $15.$

Por lo tanto $n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925.$ En efecto $925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1,$ lo que confirma la forma en base $14$ . La respuesta es $925.$

Writing out the place values, $n = 196a + 14b + c$ $= 225a + 15c + b$ $= 222a + 37c,$ where $a$ and $c$ are base- $6$ digits with $1 \le a \le 5$ and $0 \le c \le 5,$ and $0 \le b \le 13.$

Equating the last two expressions gives $b = 22c - 3a.$ Substituting into $196a + 14b + c = 225a + 15c + b$ (which says $13b = 29a + 14c$ ) yields $13(22c - 3a) = 29a + 14c,$ so $272c = 68a,$ that is $a = 4c.$ The digit bounds force $c = 1,$ $a = 4,$ and then $b = 22 - 12 = 10,$ which is a valid digit in bases $14$ and $15.$

Therefore $n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925.$ Indeed $925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1,$ confirming the base- $14$ form. The answer is $925.$

2018 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años