Question

Dos progresiones geométricas $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ y $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $\ldots$ tienen la misma razón común, con $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ y $a_{15} = b_{11}.$ Halle $a_9.$

Two geometric sequences $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ and $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $\ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

Respuesta

Respuesta: 363

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Con razón común $r,$ la condición $a_{15} = b_{11}$ dice que $27r^{14} = 99r^{10}$ .

With common ratio $r,$ the condition $a_{15} = b_{11}$ says $27r^{14} = 99r^{10}$

Pista grande:

Solo necesita $r^4,$ porque $a_9 = 27r^8$ .

You only need $r^4,$ because $a_9 = 27r^8$

Solución:

Sea $r$ la razón común. Entonces $a_{15} = 27r^{14}$ y $b_{11} = 99r^{10},$ así que $27r^{14} = 99r^{10}$ da $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

2012 AIME II Problema 2

Respuesta: 363

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años