Question

Halla el número de pares ordenados

(x, y)

de enteros positivos que satisfacen

x \le 2y \le 60

y

y \le 2x \le 60.

Find the number of ordered pairs

(x, y)

of positive integers that satisfy

x \le 2y \le 60

and

y \le 2x \le 60.

Respuesta

Respuesta: 480

Conceptos:conteo de pares desigualdad conteo complementario simetría

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Las cuatro restricciones juntas confinan a

(x, y)

al cuadrado

1 \le x, y \le 30

All four constraints together confine

(x, y)

to the square

1 \le x, y \le 30

Pista grande:

Dentro de ese cuadrado, resta los pares con

y \gt 2x

y los que tienen

x \gt 2y;

los dos conjuntos malos son disjuntos y tienen el mismo tamaño

Inside that square, subtract the pairs with

y \gt 2x

and those with

x \gt 2y;

the two bad sets are disjoint and have equal size

Solución:

Las cadenas se desglosan en cuatro condiciones:

x \le 2y,

2y \le 60,

y \le 2x,

y

2x \le 60.

Así que

(x, y)

está en el cuadrado

1 \le x, y \le 30,

y dentro de él debemos evitar

x \gt 2y

y

y \gt 2x,

que no pueden ocurrir a la vez.

Pares con

y \gt 2x:

para cada

x

de

1

a

14

, los valores

y = 2x + 1, \ldots, 30

funcionan, lo que da

\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)

= 420 - 210

= 210

pares. Por la simetría de intercambiar

x

e

y,

también hay

210

pares con

x \gt 2y.

Así que la respuesta es

30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480.

The chains unpack into four conditions:

x \le 2y,

2y \le 60,

y \le 2x,

and

2x \le 60.

So

(x, y)

lies in the square

1 \le x, y \le 30,

and within it we must avoid

x \gt 2y

and

y \gt 2x,

which cannot both happen.

Pairs with

y \gt 2x:

for each

x

from

1

to

14

the values

y = 2x + 1, \ldots, 30

work, giving

\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)

= 420 - 210

= 210

pairs. By the symmetry swapping

x

and

y,

there are also

210

pairs with

x \gt 2y.

The answer is

30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480.

1998 AIME Problema 2

Respuesta: 480

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años