Question

Halla el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos que satisfacen $x \le 2y \le 60$ y $y \le 2x \le 60$ .

Find the number of ordered pairs $(x, y)$ of positive integers that satisfy $x \le 2y \le 60$ and $y \le 2x \le 60.$

Respuesta

Solución:

Las cadenas se desglosan en cuatro condiciones: $x \le 2y$ , $2y \le 60$ , $y \le 2x$ y $2x \le 60$ . Así que $(x, y)$ está en el cuadrado $1 \le x, y \le 30$ , y dentro de él debemos evitar $x \gt 2y$ y $y \gt 2x$ , que no pueden ocurrir a la vez.

Pares con $y \gt 2x$ : para cada $x$ de $1$ a $14$ , los valores $y = 2x + 1, \ldots, 30$ funcionan, lo que da $\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)$ $= 420 - 210$ $= 210$ pares. Por la simetría de intercambiar $x$ e $y$ , también hay $210$ pares con $x \gt 2y$ .

Así que la respuesta es $30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480$ .

The chains unpack into four conditions: $x \le 2y,$ $2y \le 60,$ $y \le 2x,$ and $2x \le 60.$ So $(x, y)$ lies in the square $1 \le x, y \le 30,$ and within it we must avoid $x \gt 2y$ and $y \gt 2x,$ which cannot both happen.

Pairs with $y \gt 2x:$ for each $x$ from $1$ to $14$ the values $y = 2x + 1, \ldots, 30$ work, giving $\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)$ $= 420 - 210$ $= 210$ pairs. By the symmetry swapping $x$ and $y,$ there are also $210$ pairs with $x \gt 2y.$

The answer is $30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480.$

1998 AIME Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años