Question

Para cada entero positivo $k,$ sea $S_k$ la sucesión aritmética creciente de enteros cuyo primer término es $1$ y cuya diferencia común es $k.$ Por ejemplo, $S_3$ es la sucesión $1, 4, 7, \ldots.$ ¿Para cuántos valores de $k$ la sucesión $S_k$ contiene el término $2005$ ?

For each positive integer $k,$ let $S_k$ denote the increasing arithmetic sequence of integers whose first term is $1$ and whose common difference is $k.$ For example, $S_3$ is the sequence $1, 4, 7, \ldots.$ For how many values of $k$ does $S_k$ contain the term $2005?$

Respuesta

Solución:

El $n$ -ésimo término de $S_k$ es $1 + (n-1)k,$ así que $2005$ es un término exactamente cuando $(n-1)k = 2004$ para algún entero positivo $n,$ es decir, exactamente cuando $k$ divide a $2004.$ Todo divisor funciona, ya que entonces $n - 1 = \frac{2004}{k}$ es un entero positivo.

Como $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ el número de divisores es $(2+1)(1+1)(1+1) = 12.$

The $n$ th term of $S_k$ is $1 + (n-1)k,$ so $2005$ is a term exactly when $(n-1)k = 2004$ for some positive integer $n,$ that is, exactly when $k$ divides $2004.$ Every divisor works, since $n - 1 = \frac{2004}{k}$ is then a positive integer.

Since $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ the number of divisors is $(2+1)(1+1)(1+1) = 12.$

2005 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años