Question

Tres de los vértices de un cubo son $P = (7, 12, 10),$ $Q = (8, 8, 1),$ y $R = (11, 3, 9).$ ¿Cuál es el área de la superficie del cubo?

Three of the vertices of a cube are $P = (7, 12, 10),$ $Q = (8, 8, 1),$ and $R = (11, 3, 9).$ What is the surface area of the cube?

Respuesta

Solución:

Calcula las distancias al cuadrado: $PQ^2 = 1^2 + 4^2 + 9^2 = 98,$ $QR^2 = 3^2 + 5^2 + 8^2 = 98,$ y $RP^2 = 4^2 + 9^2 + 1^2 = 98.$ Así que $P,$ $Q,$ y $R$ forman un triángulo equilátero de lado $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}.$

Tres vértices de un cubo mutuamente equidistantes deben unirse mediante diagonales de cara, y una diagonal de cara de un cubo con arista $s$ tiene longitud $s\sqrt{2}.$ Por lo tanto $s = 7,$ y el área de la superficie es $6 \cdot 7^2 = 294.$

Compute the squared distances: $PQ^2 = 1^2 + 4^2 + 9^2 = 98,$ $QR^2 = 3^2 + 5^2 + 8^2 = 98,$ and $RP^2 = 4^2 + 9^2 + 1^2 = 98.$ So $P,$ $Q,$ and $R$ form an equilateral triangle with side $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}.$

Three mutually equidistant vertices of a cube must be joined by face diagonals, and a face diagonal of a cube with edge $s$ has length $s\sqrt{2}.$ Thus $s = 7,$ and the surface area is $6 \cdot 7^2 = 294.$

2002 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años