Question

En el diagrama de abajo, $ABCD$ es un rectángulo de lados $AB = 3$ y $BC = 11,$ y $AECF$ es un rectángulo de lados $AF = 7$ y $FC = 9,$ como se muestra. El área de la región sombreada común a los interiores de ambos rectángulos es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

In the diagram below, $ABCD$ is a rectangle with side lengths $AB = 3$ and $BC = 11,$ and $AECF$ is a rectangle with side lengths $AF = 7$ and $FC = 9,$ as shown. The area of the shaded region common to the interiors of both rectangles is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloque $B = (0, 0),$ $C = (11, 0),$ $A = (0, 3),$ $D = (11, 3).$ Resolviendo $AF = 7$ y $CF = 9$ (consistente ya que $AC^2 = 11^2 + 3^2 = 130$ $= 7^2 + 9^2$ ) se obtiene $F = \left(\frac{28}{5}, \frac{36}{5}\right),$ y como las diagonales del rectángulo $AECF$ se bisecan mutuamente, $E = A + C - F = \left(\frac{27}{5}, -\frac{21}{5}\right).$

Los lados $AE$ y $FC$ tienen dirección $(3, -4),$ y están sobre las rectas $4x + 3y = 9$ y $4x + 3y = 44;$ los lados $AF$ y $EC$ están sobre $3x - 4y = -12$ y $3x - 4y = 33.$ Todo punto de $ABCD$ satisface $-12 \le 3x - 4y \le 33,$ así que la región común es solo la parte de la franja $0 \le y \le 3$ entre las rectas $4x + 3y = 9$ y $4x + 3y = 44:$ un paralelogramo con vértices $A = (0, 3),$ $\left(\frac{9}{4}, 0\right),$ $C = (11, 0),$ y $\left(\frac{35}{4}, 3\right).$

Sus lados horizontales tienen longitud $11 - \frac{9}{4} = \frac{35}{4}$ y la altura entre ellos es $3,$ así que el área es $\frac{35}{4} \cdot 3 = \frac{105}{4},$ y $m + n = 105 + 4 = 109.$

Place $B = (0, 0),$ $C = (11, 0),$ $A = (0, 3),$ $D = (11, 3).$ Solving $AF = 7$ and $CF = 9$ (consistent since $AC^2 = 11^2 + 3^2 = 130$ $= 7^2 + 9^2$ ) gives $F = \left(\frac{28}{5}, \frac{36}{5}\right),$ and since the diagonals of rectangle $AECF$ bisect each other, $E = A + C - F = \left(\frac{27}{5}, -\frac{21}{5}\right).$

Sides $AE$ and $FC$ have direction $(3, -4),$ lying on the lines $4x + 3y = 9$ and $4x + 3y = 44;$ sides $AF$ and $EC$ lie on $3x - 4y = -12$ and $3x - 4y = 33.$ Every point of $ABCD$ satisfies $-12 \le 3x - 4y \le 33,$ so the common region is just the part of the strip $0 \le y \le 3$ between the lines $4x + 3y = 9$ and $4x + 3y = 44:$ a parallelogram with vertices $A = (0, 3),$ $\left(\frac{9}{4}, 0\right),$ $C = (11, 0),$ and $\left(\frac{35}{4}, 3\right).$

Its horizontal sides have length $11 - \frac{9}{4} = \frac{35}{4}$ and the height between them is $3,$ so the area is $\frac{35}{4} \cdot 3 = \frac{105}{4},$ and $m + n = 105 + 4 = 109.$

2021 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años