Question

Halle el residuo al dividir $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nueves}}$ entre $1000.$

Find the remainder when $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nines}}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras $9$ , así que es $\equiv -1 \pmod{1000}$

Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so it is $\equiv -1 \pmod{1000}$

Pista grande:

Cuente cuántos factores son $\equiv -1 \pmod{1000}$ y determine si ese número es par o impar; solo queda calcular $9 \cdot 99$

Count how many factors are $\equiv -1 \pmod{1000}$ and check whether that count is odd or even; only $9 \cdot 99$ remains to compute

Solución:

Trabaje módulo $1000.$ Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras $9$ , así que cada uno es $\equiv -1 \pmod{1000}.$ Hay $999$ factores en total, de modo que $997$ de ellos son $\equiv -1.$

Por lo tanto, el producto satisface $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ así que el residuo es $109.$

Work modulo $1000.$ Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so each is $\equiv -1 \pmod{1000}.$ There are $999$ factors in all, hence $997$ of them are $\equiv -1.$

The product is therefore $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ so the remainder is $109.$

2010 AIME I Problema 2

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años