Question

Halle el residuo al dividir

9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nueves}}

entre

1000.

Find the remainder when

9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 nines}}

is divided by

1000.

Respuesta

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras

9

, así que es

\equiv -1 \pmod{1000}

Every factor from the third one on ends in at least three

9

s, so it is

\equiv -1 \pmod{1000}

Cuente cuántos factores son

\equiv -1 \pmod{1000}

y determine si ese número es par o impar; solo queda calcular

9 \cdot 99

Count how many factors are

\equiv -1 \pmod{1000}

and check whether that count is odd or even; only

9 \cdot 99

remains to compute

Trabaje módulo

1000.

Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres cifras

9

, así que cada uno es

\equiv -1 \pmod{1000}.

Hay

999

factores en total, de modo que

997

de ellos son

\equiv -1.

Por lo tanto, el producto satisface

\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}

así que el residuo es

109.

Work modulo

1000.

Every factor from the third one on ends in at least three

9

s, so each is

\equiv -1 \pmod{1000}.

There are

999

factors in all, hence

997

of them are

\equiv -1.

The product is therefore

\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}

so the remainder is

109.