Question

Una cinta transportadora de $100$ pies de largo se mueve a una velocidad constante de $6$ pies por segundo. Al se sube al inicio de la cinta y se queda parado. Bob se sube al inicio de la cinta dos segundos después y avanza caminando por la cinta a una velocidad constante de $4$ pies por segundo. Dos segundos más tarde, Cy llega al inicio de la cinta y camina a paso vivo junto a la cinta a una velocidad constante de $8$ pies por segundo. En cierto momento, una de estas tres personas está exactamente a la mitad de camino entre las otras dos. En ese momento, halla la distancia en pies entre el inicio de la cinta y la persona del medio.

A $100$ foot long moving walkway moves at a constant rate of $6$ feet per second. Al steps onto the start of the walkway and stands. Bob steps onto the start of the walkway two seconds later and strolls forward along the walkway at a constant rate of $4$ feet per second. Two seconds after that, Cy reaches the start of the walkway and walks briskly forward beside the walkway at a constant rate of $8$ feet per second. At a certain time, one of these three persons is exactly halfway between the other two. At that time, find the distance in feet between the start of the walkway and the middle person.

Respuesta

Solución:

Mide el tiempo $t$ en segundos desde que Al se sube. Al se queda parado sobre la cinta, así que está en $6t;$ Bob se mueve a $6 + 4 = 10$ pies por segundo, así que está en $10(t - 2);$ Cy camina junto a la cinta a $8$ pies por segundo, así que está en $8(t - 4).$ Los tres se están moviendo una vez que $t \ge 4.$

El doble de la posición de la persona del medio debe ser igual a la suma de las otras dos. Si Bob estuviera en el medio, $20(t-2) = 6t + 8(t-4)$ da $t = \frac{4}{3} \lt 4,$ imposible. Si Cy estuviera en el medio, $16(t-4) = 6t + 10(t-2)$ se reduce a $-64 = -20,$ sin solución. Si Al está en el medio, $12t = 10(t-2)$ $+ 8(t-4) = 18t - 52,$ así que $t = \frac{26}{3}.$

En ese momento Al está en $6 \cdot \frac{26}{3} = 52$ pies, mientras que Bob y Cy están en $\frac{200}{3}$ y $\frac{112}{3},$ cuyo promedio es en efecto $52.$ La persona del medio está a $52$ pies del inicio.

Measure time $t$ in seconds from when Al steps on. Al stands on the walkway, so he is at $6t;$ Bob moves at $6 + 4 = 10$ feet per second, so he is at $10(t - 2);$ Cy walks beside the walkway at $8$ feet per second, so he is at $8(t - 4).$ All three are moving once $t \ge 4.$

The middle person's position doubled must equal the sum of the other two. If Bob were in the middle, $20(t-2) = 6t + 8(t-4)$ gives $t = \frac{4}{3} \lt 4,$ impossible. If Cy were in the middle, $16(t-4) = 6t + 10(t-2)$ reduces to $-64 = -20,$ with no solution. If Al is in the middle, $12t = 10(t-2)$ $+ 8(t-4) = 18t - 52,$ so $t = \frac{26}{3}.$

At that moment Al is at $6 \cdot \frac{26}{3} = 52$ feet, while Bob and Cy are at $\frac{200}{3}$ and $\frac{112}{3},$ whose average is indeed $52.$ The middle person is $52$ feet from the start.

2007 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años