Question

Rudolph pedalea a velocidad constante y se detiene para un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer pedalea a velocidad constante que es tres cuartos de la velocidad a la que pedalea Rudolph, pero Jennifer toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a pedalear al mismo tiempo y llegan a la marca de $50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

Rudolph bikes at a constant rate and stops for a five-minute break at the end of every mile. Jennifer bikes at a constant rate which is three-quarters the rate that Rudolph bikes, but Jennifer takes a five-minute break at the end of every two miles. Jennifer and Rudolph begin biking at the same time and arrive at the $50$ -mile mark at exactly the same time. How many minutes has it taken them?

Respuesta

Solución:

Supongamos que Rudolph pedalea a $r$ millas por minuto. Descansa después de cada una de las millas $1$ a $49,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutos. Jennifer pedalea a $\frac{3r}{4}$ millas por minuto y descansa después de cada una de las millas $2, 4, \ldots, 48,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{3r/4} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutos.

Igualando los tiempos se obtiene $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ así que $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ y $r = \frac{2}{15}.$ El tiempo común es $\frac{50}{2/15} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutos.

Let Rudolph bike at $r$ miles per minute. He rests after each of miles $1$ through $49,$ so his total time is $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutes. Jennifer bikes at $\frac{3r}{4}$ miles per minute and rests after each of miles $2, 4, \ldots, 48,$ so her total time is $\frac{50}{3r/4} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutes.

Setting the times equal gives $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ so $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ and $r = \frac{2}{15}.$ The common time is $\frac{50}{2/15} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutes.

2008 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años