Question

Rudolph pedalea a velocidad constante y se detiene para un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer pedalea a una velocidad constante igual a tres cuartos de la de Rudolph, pero toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a pedalear al mismo tiempo y llegan a la marca de $50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

Rudolph bikes at a constant rate and stops for a five-minute break at the end of every mile. Jennifer bikes at a constant rate which is three-quarters the rate that Rudolph bikes, but Jennifer takes a five-minute break at the end of every two miles. Jennifer and Rudolph begin biking at the same time and arrive at the $50$ -mile mark at exactly the same time. How many minutes has it taken them?

Respuesta

Respuesta: 620

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación racional

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Ninguno de los dos ciclistas descansa al llegar, así que Rudolph toma $49$ descansos y Jennifer toma $24$

Neither rider takes a break upon arriving, so Rudolph takes $49$ breaks and Jennifer takes $24$

Pista grande:

Con la velocidad de Rudolph $r$ millas por minuto, iguala $\frac{50}{r} + 245$ y $\frac{200}{3r} + 120$

With Rudolph’s rate $r$ miles per minute, equate $\frac{50}{r} + 245$ and $\frac{200}{3r} + 120$

Solución:

Supongamos que Rudolph pedalea a $r$ millas por minuto. Descansa después de cada una de las millas $1$ a $49,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutos. Jennifer pedalea a $\frac{3r}{4}$ millas por minuto y descansa después de cada una de las millas $2, 4, \ldots, 48,$ así que su tiempo total es $\frac{50}{\frac{3r}{4}} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutos.

Igualando los tiempos se obtiene $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ así que $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ y $r = \frac{2}{15}.$ El tiempo común es $\frac{50}{\frac{2}{15}} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutos.

Let Rudolph bike at $r$ miles per minute. He rests after each of miles $1$ through $49,$ so his total time is $\frac{50}{r} + 49 \cdot 5 = \frac{50}{r} + 245$ minutes. Jennifer bikes at $\frac{3r}{4}$ miles per minute and rests after each of miles $2, 4, \ldots, 48,$ so her total time is $\frac{50}{\frac{3r}{4}} + 24 \cdot 5 = \frac{200}{3r} + 120$ minutes.

Setting the times equal gives $\frac{50}{r} + 245 = \frac{200}{3r} + 120,$ so $\begin{aligned} 125 &= \frac{200 - 150}{3r} \\ &= \frac{50}{3r}, \end{aligned}$ and $r = \frac{2}{15}.$ The common time is $\frac{50}{\frac{2}{15}} + 245 = 375 + 245 = 620$ minutes.

2008 AIME II Problema 2

Respuesta: 620

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años