Question

La figura de abajo muestra una cuadrícula de $10$ cuadrados en una fila. Cada cuadrado tiene una diagonal que conecta su vértice inferior izquierdo con su vértice superior derecho. Un insecto se mueve a lo largo de los segmentos de vértice a vértice, sin recorrer nunca el mismo segmento dos veces y sin moverse nunca de derecha a izquierda por un segmento horizontal o diagonal. Sea $N$ el número de caminos que el insecto puede tomar desde la esquina inferior izquierda $(A)$ hasta la esquina superior derecha $(B).$ Uno de esos caminos de $A$ a $B$ se muestra con los segmentos gruesos en la figura. Halla $\sqrt{N}.$

The figure below shows a grid of $10$ squares in a row. Each square has a diagonal connecting its lower left vertex to its upper right vertex. A bug moves along the line segments from vertex to vertex, never traversing the same segment twice and never moving from right to left along a horizontal or diagonal segment. Let $N$ be the number of paths the bug can take from the lower left corner $(A)$ to the upper right corner $(B).$ One such path from $A$ to $B$ is shown by the thick line segments in the figure. Find $\sqrt{N}.$

Respuesta

Solución:

Pongamos $A = (0, 0)$ y $B = (10, 1).$ Todo movimiento horizontal y diagonal va hacia la derecha, así que la coordenada $x$ del insecto nunca disminuye, y cruza cada una de las $10$ franjas verticales exactamente una vez, usando exactamente uno de los tres segmentos hacia la derecha de ese cuadrado: el borde inferior, el borde superior, o la diagonal.

Estas diez elecciones determinan todo el camino. Cada cruce llega a una altura determinada (borde inferior: baja; borde superior o diagonal: alta) y sale a una altura determinada (borde inferior o diagonal: baja; borde superior: alta), así que en cada línea vertical el insecto recorre el segmento vertical exactamente cuando las alturas de llegada y de salida difieren, y cada segmento vertical se necesita a lo sumo una vez, por lo que ningún segmento se repite. Lo mismo vale en los extremos: el insecto empieza abajo en $A$ y termina arriba en $B,$ usando los verticales de los extremos si es necesario. Recíprocamente, toda sucesión de elecciones produce un camino válido.

Por lo tanto $N = 3^{10},$ y $\sqrt{N} = 3^5 = 243.$

Put $A = (0, 0)$ and $B = (10, 1).$ Every horizontal and diagonal move goes rightward, so the bug's $x$ -coordinate never decreases, and it crosses each of the $10$ vertical strips exactly once, using exactly one of that square's three rightward segments: the bottom edge, the top edge, or the diagonal.

These ten choices determine the whole path. Each crossing arrives at a definite height (bottom edge: low; top edge or diagonal: high) and departs at a definite height (bottom edge or diagonal: low; top edge: high), so at each vertical line the bug traverses the vertical segment exactly when the arrival and departure heights differ — and each vertical segment is needed at most once, so no segment repeats. The same applies at the ends: the bug starts low at $A$ and finishes high at $B,$ using the end verticals if necessary. Conversely, every sequence of choices yields a valid path.

Therefore $N = 3^{10},$ and $\sqrt{N} = 3^5 = 243.$

2026 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años